기대 정보 행렬의 유도(derivation of expected information matrix)

이전 포스트에서 관측 정보 행렬을 유도했다. 이제 이 관측 정보 행렬의 기댓값인 기대 정보 행렬(expected information matrix)을 유도할 차례이다. 여기서 중요한 것은 quadratic form의 기댓값을 구하는 방법이 적용된다는 점이다. quadratic form은 y'Qy 형태 즉 스칼라 값을 만들어 내는 행렬의 곱의 형태이다. 이전 포스트에서도 설명을 했지만 다시 quadratic form의 기댓값을 구해보고, 관측 정보 행렬에 이 공식을 적용하여 기대 정보 행렬을 구해본다.
Gilmour의 Average Information REML An Efficient Algorithm for Variance Parameter Estimation in Linear Mixed Models 논문에는 observed information matrix와 expected information matrix가 다음과 같다.

그리고 Larry R. Schaeffer의 2008년도 Animal Models and Estimation of Variance Components에는 observed information matrix 과 expected information matrix이 다음과 같이 나와 있다.

 
표기법에 약간의 차이가 있을 뿐 같은 식이다. 여기서는 Schaeffer의 observed information matrix를 기댓값을 취하여 expected information matrix를 구해 본다.