다변량 정규 분포 함수의 유도

정규 분포 함수 또는 정규 분포를 따른 임의 변량 또는 확률 변수의 확률 밀도 함수(probability density function, pdf)는 검색을 해 보니 1700년대부터 발표되어 오다가 1800년대 초에 가우스가 확립한 것 같다. 그래서 정규 분포를 가우시안 분포라고 하는 것인가 보다. 평균에서 뾰족하고, 주위로 갈수록 낮아지는 종모양의 그래프를 많이 봤다. 즉 평균에서 확률이 가장 높고, 평균에서 멀어질수록 확률이 낮아지는 그래프이다. 단변량 확률 변수의 pdf는 많이 봤고, 익숙하지만 다변량 확률 변수의 pdf는 익숙하지 않다. 다변량 확률 벡터 사이의 분산-공분산 행렬 때문이다. 단변량 정규 확률 변수의 pdf를 살펴보고, 다변량 정규 확률 변수의 pdf를 유도해 보자. 

(몇 년 전 포스트를 보니 다변량 정규 분포 함수를 유도하다가 만 포스트가 있었다. 그에 대한 보충이다.)

 

행렬의 미분, 행렬식(determinant), 전치(transpose) 등 행렬 지식이 약간 필요하다. 행렬 대수학 공부가 필수다.